\section*{Zu \ref{einleitung} Einleitung}\marginpar{20.4.2007}

 \subsection*{Grundgleichungen der Elektrodynamik}\label{gged}

  \begin{description}
   \item[Raumladungsdichte]
        $\rho(\vect r) = \td{q}{V}$
   \item[Ladung im Volumenelement $V$]
        $q(\vect r) = \int_V \total^3r\,\rho(\vect r)$
   \item[\dots bei Punktladungen]
        $q_i(\vect r) = \sum_{i=1}^N q_i\delta^3(\vect r_i - \vect r)$
   \item[Flächenladungsdichte]
        $\sigma(\vect r) = \td{q}{f}$
   \item[Strom]
        $I = \td{q}{t} = \int_F \total \vect f\,\vectj(\vect r, t)$
  \end{description}

  \subsubsection{Ladungserhaltung und Kontinuitätsgleichung}
  Wir betrachten die zeitliche Änderung der Gesamtladung
  $\td{q(t)}{t} = \int_V\total^3r\, \pd{\rho(\vect r,t)}{t}$
  (Ladung im Volumen) bzw.
  $\td{q(t)}{t} = -I(t) = -\int_F\total\vect f\,\vectj(\vect r,t)$
  (Stromfluss durch die das Volumen begrenzende Fläche).

  \subsubsection{Gauß'scher Satz}
  \fbox{$\int_F\total\vect f\,\vect a(\vect r) = \int_V\total^3r\,\Div\vect a(\vect r)$}
  $\equiv \int_V\total^3r\,\vects\nabla\vect a(\vect r)$, also
  $\td{q}{t}\footnote{Strom durch die Oberfläche} = -\int_V\total^3r\,\vects\nabla\vectj(\vect r,t)$ 
  $= \int_V\total^3r\pd{\rho(\vect r,t)}{t}$
  für alle Volumina $V$. Daher gilt für die Integranden
  \fbox{$\pd{\rho(\vect r,t)}{t} + \DIV\vectj(\vect r,t) = 0$}\footnote{Kontinuitätsgleichung}.

\subsubsection{Maxwell-Gleichungen (im Gauß'schen Maßsystem)}

Die elektrischen Ladungen sind die Quellen des elektrischen Feldes ($\vect E$)

Ladungen und Ströne erzeugen $\vect E$ und $\vect B$ . 

\fbox{$\Rot \vect B (\vect r, r) - \frac{1}{c}\pd{E(\vect r, t)}{t} = \frac{e \pi}{c} \pd{\vect E (\vect r, t)}{t} = \frac{4 \pi}{c}\, j(\vect r, t)$}

\fbox{$\Div \vect E(\vect r, t) = 4 \pi \, \rho (\vect r, t)$}

\fbox{$\Rot E (\vect r, t) + \frac{1}{c} \pd{\vect B (\vect r, t)}{t} = 0$}

\fbox{$\Div \vect B (\vect r, t) = 0$}

Da die Felder in allen drei Raumrichtungen bestehen ($E_x, E_y, E_z$), führt Maxwell uns auf 8 Gleichungen für 6 Unbekannte. 

\subsubsection{Vektoranalysis}

Für $\Grad, \Div, \Rot$

\subsubsection{Gradient eines Skalarfeldes}

$\Grad \varphi = (\vect e_x \pd{}{x} + \vect e_y \pd{}{y} + \vect e_z \pd{}{z}) \cdot (\varphi (x,y,z)) = \GRAD \varphi (x,y,z)$

$\Rightarrow \Grad \varphi = \GRAD \varphi$

$\GRAD (\varphi + \psi) = \GRAD \varphi + \GRAD \psi$, d.h. es gilt das Distributivgesetz

$\GRAD(\varphi \psi) = \GRAD \varphi)\psi + \GRAD \psi)\varphi = \psi \GRAD \varphi + \varphi \GRAD \psi$, das heißt es gilt die Produkt-Regel. 

\subsubsection{Divergenz eines Vektors $\vect a$}

$\Div \vect a = \pd{a_x}{x} + \pd{a_y}{y} + \pd{a_z}{z} = \DIV \vect a = (\vect e_x \pd{}{x} + \vect e_y \pd{}{y} + \vect e_z \pd{}{z}) \cdot \vect a (x,y,z)$

$\Rightarrow \vect a = \DIV a$

\subsubsection{Zweimalige Anwendung von $\DIV$}

$\DIV(\DIV \varphi) = \Div (\Grad \varphi) = \pdq{\varphi}{x} + \pdq{\varphi}{y} + \pdq{\varphi}{z} = \laplace \varphi$

Kurz: \fbox{$\DIV \DIV = \laplace$} ; In der Präsenz-Übung: $\ROT (\ROT \vect a) = \DIV (\DIV \vect a) - \laplace \vect a$

$\DIV(\vect a + \vect b) = \DIV \vect a + \DIV \vect b$

$\laplace(\varphi + \psi) = \laplace \varphi + \laplace \psi$

\subsubsection{Rotation eines Vektors}

$\Rot \vect a = \ROT \vect a$

$(\Rot \vect a)_x = \pd{a_z}{y} - \pd{a_y}{z}$

$(\Rot \vect a)_y = \pd{a_x}{z} - \pd{a_z}{x}$

$(\Rot \vect a)_z = \pd{a_y}{x} - \pd{a_x}{y}$

$\ROT (\vect a + \vect b) = \ROT \vect a + \ROT \vect b$, d.h. es gilt das Distributivgesetz

$\ROT (\GRAD \varphi) = 0 = \Rot \Grad \varphi = 0$

$\DIV (\ROT \vect a) = 0 = \Div \Rot \vect a = 0$

$\ROT (\ROT \vect a) = \GRAD(\DIV \vect a) - \laplace a = \Grad \Div \vect a - \laplace a$

%%  \[
%%   \vect v = \cvect{v_x \\ v_y \\ v_z} = \cvect{ v_x & v_y & v_z }^T
%%  \]